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【論理の哲学】 論理と数学の関係、論理と哲学の関係に迫る

記事の内容

「論理」というものは、どのように研究されてきたのだろうか??

 

・論理と数学の関係は?

・論理と哲学の関係は?

・論理と私たちが使う言語の関係は?

 

などなど、興味は尽きない。この「論理」という対象に、どこか興味を惹かれる人もいると思う。

 

今回の記事では、この「論理」に様々な角度から迫るいい本を紹介したい。

 

 

 

 

論理の哲学

 

 

・論理学と哲学

・嘘つきのパラドクス

・ソリテスパラドクス

・完全性と不完全性

・論理と数学における構成主義

・論理主義の現在

計算と論理

自然言語と論理

 

目次を見れば分かる通り、「論理」に関する様々な考察に満ちている!!!

数学よりな議論もあれば、哲学よりな議論もある。とくに、「計算と論理」、「自然言語と論理」については、一般的な論理学の教科書ではなかなか読めない。幅広く論理というものを考えるために、うまくまとまっている一冊だと思う。

 

 

論理と数学の「関係」こそが、この分野において長年議論されてきたことだ。数学はどこまで、論理学に還元できるのか。いくつかの標準的な見方が出来上がりつつあるが、それらを覆すような領域も研究されている。

 

この本では、論理と計算の関係まで網羅している。そこには、計算機の基礎という実用的にも重大なテーマがある。私たちが日々使うコンピュータの基礎を論理学が担っているのだ。そこで見出さレル「証明とプログラムの関係」もとても興味深い。

 

証明という数学の話と、プログラムというコンピュータの話がどうつながっていくのか。このテーマもとても面白そう。さらに気になるかたには、次の本がおすすめ。

 

 

 

 

 

 

論理学の歴史

 

ラッセルのパラドクスなどの数学上のパラドクスと、嘘つきパラドクスなどの論理的なパラドクスという性格の異なるパラドクスが注目され始めた。

 

フレーゲは、数学の証明を機械的に定義できるようにしたかった。証明のために使われる規則を厳密に定めるために、形式言語を導入した。

 

しかし、正しい推論すべてをカバーできる規則があるのかどうか、という疑問が起こる。

 

論理にある制限を加えた一階述語論理では、上記のことが認められた。ゲーデル完全性定理だ。

 

「論理学のための標準的な言語が存在し、それは一階述語論理の言語である」とおおよそは認められた。

 

販売されている教科書を開けば、確かに一階述語論理を学ぶことになる。しかし、一階述語論理も、現代では「論理学」の1つでしかない。

 

標準的な論理に反対する考え方の一つが、構成主義だ。直観主義数学という。

そこでは、排中律が否定される。すべての命題が真か偽になっているとする古典論理は、数学のように無限を扱う場面では、誤った推論を導く可能性がある。

 

ダメットは、世界がわれわれの認識から独立に存在しているとする実存論的立場と、世界はわれわれの認識に部分的には依存しているとする観念論的立場を整理した。そして、実在論反実在論の対立が、古典数学と直感主義数学の対立として表れている、と指摘する。

 

 

 

 

 

論理と数学における構成主義

 

数学の基礎において色々なパラドクスが生じた。その原因は、排中律の無闇な使用にあるのではないか?

 

そこで考えられたのが、直観主義だ。

 

「AかAでないかのどちらかだ」という排中律を認めないのが、直観主義

 

そして、直感主義は構成主義に属する。数学の証明は構成的でなければならないとする考え方だ。

 

何かの存在を証明するためには、具体例を与えるか、そういう具体例をどうやって見つけるのかを示す必要がある。これが構成主義だ。

 

これに反するように見えるのが、背理法だ(背理法全てを拒否するわけではない)。「存在しない」と仮定して矛盾が導けたとしても、それは「存在しないわけではない」ということにしかならない。直観主義では、排中律を認めないからだ。

  

素数は無限にある」の証明も背理法が使われている。

背理法が使えないのは困る!!!

 

いや、実は「素数は無限にある」ことの証明は、構成的な証明に書き直すことができる。

 

直観主義論理と古典論理、どちらが豊かなのかは、いくつかの考え方がある。

 

 

 

 

 

ブラウワーの哲学

彼は、論理というものが数学者の活動を規制するとは考えなかった。

 

数学が先で、論理が後だと考えた。

 

これは、数学を論理に還元しようとする論理主義の立場とは反対になる。

 

それなら、数学の論証の客観性をどう保てばいいのか??

 

ブラウワーなら、数学者の経験や直観と答えるだろう。言語の形式のみに注目するのは、数学の本質とは関係ない!としたのだ。

 

人間が使う文は、すべて真か偽に分かれるか?

そして、それが文の意味なのか?

 

ダメットは、意味の理解は顕示されなくてはいけない、という。外から判別できなくてはならない。

 

二値原理を無制限に認めることは、意味の理解を神秘的なことにしてしまう。

 

実在論反実在論

文の集合に属する文に対して、二値原理を認めるかどうか、分けようと考えた。

 

認める・・・古典数学、実在論

認めない・・・反実在論構成主義

 

 

 

 

 

おすすめ本、記事

 

悲しいことに現在本書は絶版??

図書館で手に入れるのがいいと思う。

 

 

 

 

他に読みやすい本としては、次がおすすめ。

 

 

野矢茂樹の「論理学」からは、論理主義に関する一節を引用しておきたい。

数という対象を論理学に還元することはできるのだろうか。

論理主義の問題はここに集約される。

「数とは何か」。これはまた、数学は単に形式的な学問なのか、それとも実質的な学問なのかという、知の根本に関わる問いにほかならない。

いったい、自然数論は、ひいては数学は、論理学なのだろうか、それとも数という対象に関する科学なのだろうか。

 

 

標準的な論理学の一歩としては、次の記事にまとめている。

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論理学超入門

次の本も、「論理」について広く学べる入門書。数式ではなく、言葉での説明が多いので、入門書として楽しめる。書き方も簡潔で読みやすい。

 

  

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本格的に数理論理学を学びたいのならこちら。定評のある教科書だ。

 

 

 

他の記事でも、「論理」については度々紹介している。

 

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「論理と哲学」と言ったら、あの論理哲学論考ですよね!

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そして、数学と論理の一つの到達点として有名なのが、「ゲーデル不完全性定理」ですよね。

知的好奇心の赴くままに。

 

次の記事で紹介している。

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